【高校数学】満点を取るための証明問題の解き方・書き方を一から解説!

数学の証明問題の解き方や書き方を解説 勉強法




『数学の証明問題が苦手だ…』『証明問題で毎回点数を稼げない…』そう思っている受験生の方はいませんか?

しかし一見難しそうな証明問題でもコツをつかみ、しっかり勉強することで短期間で得意にしていくことが可能なのです。私も勉強法を変えることで証明問題で満点を取れるくらいになりました。

その方法について1つずつ解説していくのでこの記事を参考にして証明問題の苦手意識をなくしていってもらえればと思います。

 

数学の証明問題の種類

 

数学の証明問題には2つの種類があります。ここではその2つの特徴についてそれぞれ解説していきます!

 

図形の証明問題

 

数学の証明問題の解き方、書き方について『証明問題の種類の1つ目は図形の証明問題』

 

これは範囲としては『数学A』の分野で出題される可能性が高いです。チェバの定理、メネラウスの定理を習うのが数学Aなのでその定理に関係した問題が多いです。

また、センター試験でも図形の分野で証明問題が出されることがあります。問題例としては『辺ABと辺CDが平行であることを証明しなさい』という問題が多数です。しかし、高校数学の証明問題としては出題されにくい傾向があります。

 

公式の証明問題

 

数学の証明問題の解き方、書き方について『証明問題の種類の2つ目は公式の証明問題』

この種類の証明問題は高校で出題される証明問題の8割以上を占めています。特に、難関大学になってくると証明問題の比率が上がってきて、難易度も難しくなっていきます。

公式の証明問題としては主に2つに分けられます。

 

公式証明問題の種類
1 すでに分かっている公式の証明をする問題

2 知らない公式を証明する問題

 

1としては、例えば『加法定理を証明しなさい』や『点と直線の距離の公式の証明をしなさい』などが挙げられます。この問題は教科書に必ず証明が載っているのでしっかり覚えていくことが大事です。

2としては、証明方法を自分で1から考えていくことが必要です。『数学的帰納法』や『背理法』などの証明方法のなかから問題に合うものをいかに早く選んでいけるかがカギとなります。

 

証明問題の解き方・書き方のコツ

 

ここでは数学の証明問題を解答していく際に意識しておきたい重要なコツについて説明していくので問題を解く際は参考にしてください!

 

公式は覚える前に証明できるようになろう

 

数学の証明問題の解き方、書き方のポイント『公式は証明できるようになろう』

 

証明問題を得意にしていく準備段階として行ってほしいことは『公式は証明できるようになってから覚える』ということです。これができるようにならないといくら勉強しても証明ができるようになりません。

また、難関大学の入試問題になればなるほど意外に簡単な公式の証明問題が出る傾向があります。有名どころで言えば、東京大学の入試問題では三角関数の加法定理の証明が出ました。

ポイント
受験生の多くは勉強の効率ばかりを意識してしまって肝心なことを忘れがちです。『公式は証明できるようになってから使うべき』という当たり前のことを忘れないことが重要です。

 

図形の証明ではわかっていることをとりあえず書き込む

 

数学の証明問題の解き方、書き方のポイント『図形問題は図にわかっている値を書き込む』

 

高校の図形証明問題は中学の問題に比べてもかなり煩雑になっていて、解いている途中に自分が何をしているかわからなくなってしまう…という人が結構います。

なので、大事なことは『すでに分かっている情報を図形にどんどん書いていく』ことですこれによって証明問題が分かりやすくなったり結論までのイメージが簡単にできるようになります。上の図形のように記号で書いていきましょう。

ここで意識してほしいことは『結論は図形に書き込まない』ことです。過程と結論を混同してしまう人がいるので注意しましょう。

 

ある程度パターンを暗記してしまおう

 

数学の証明問題の解き方、書き方のポイント『証明のパターンを暗記する』

 

公式の証明問題に関しては自分で1から答えを作り出していくのもいいですが、そんなことをしていては試験時間がいくらあっても足りないですし、効率的ではありません。なので、ある程度の『暗記』が必要になってきます。

例えば、次で挙げている証明問題はもう証明方法が決まっています。

√2が無理数であることの証明→背理法

1+2+3+···+n=1/2n(n+1)の証明→数学的帰納法

このように、あるパターンの証明問題ではこの証明方法を使う、という一定の方法が存在します。それを覚えておくことで考える時間を大幅に短縮することができるのです。

特に、数学的帰納法のパターンについては暗記していない人が多いので覚えておくだけでも周りの受験生と差をつけることができますよ。

 

問題に慣れよう

 

数学の証明問題の解き方、書き方のポイント『証明問題に慣れる』

 

上で説明したコツを行ったら、あとはとにかく問題に慣れていくしかありません。口に『数学の証明』と言っても証明方法は山のようにあります。

例えば

積分を使った証明

数列を使った証明

中間値の定理を使う

恒等式を用いる

図形を使った証明

推測して数学的帰納法

など、探せばまだまだ証明方法はあります。なのでこの中から問題にあった方法をすぐに見つけ出せるように感覚を研ぎ澄ましておいてほしいのです。

そのためにも1日2題程度でいいので証明問題を解くことを心がけてください。数学は毎日やることが非常に大事になってくる科目です。1日でもやらないとすぐに点数も下がっていくので注意してください。

 

まとめ

 

いかがでしたか?

数学の証明問題では『暗記』と『思考』の訓練をバランスよく行っていくことで成績を効率的に上げていくことができます。割合としては暗記:思考の比率は3:7程度で行っていくことがおすすめです。

証明問題は一度得意にしてしまえば他の分野の問題にもいい影響が出てくるのでこの記事を参考にして勉強してもらえればと思います。

数学全般の勉強方法についてはこちらの記事にまとめているので一度見てみてください。

知らないと損する!数学の効率を2倍にする勉強法とは

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他の科目の勉強方法はこちらにまとめています。ぜひ参考にしてください。

各科目の勉強法はこれで完全網羅!大学受験プロ式勉強法まとめ

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