数学の証明問題の解き方・書き方を解説！

「数学の証明問題が苦手だ」「証明問題で毎回点数を稼げない」と悩んでいませんか？

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しかし一見難しそうな証明問題でもコツをつかみ、しっかり勉強することで短期間で得意にしていくことが可能なのです。私も勉強法を変えることで証明問題で満点を取れるくらいになりました。

その方法について1つずつ解説していくのでこの記事を参考にして証明問題の苦手意識をなくしていってもらえればと思います。

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数学の証明問題の種類

数学の証明問題には2つの種類があります。ここではその２つの特徴についてそれぞれ解説していきます！

図形の証明問題

これは範囲としては「数学A」の分野で出題される可能性が高いです。チェバの定理、メネラウスの定理を習うのが数学Aなのでその定理に関係した問題が多いです。

また、大学入試でも証明問題は出題されます。問題例としては「辺ABと辺CDが平行であることを証明しなさい」というものです。しかし、高校数学の証明問題としては出題されにくい傾向があります。

公式の証明問題

この種類の証明問題は高校で出題される証明問題の8割以上を占めています。特に、難関大学になってくると証明問題の比率が上がってきて、難易度も難しくなっていきます。

公式の証明問題としては主に2つに分けられます。

すでにわかっている公式の証明をする問題は、例えば「加法定理を証明しなさい」や「点と直線の距離の公式の証明をしなさい」などが挙げられます。この問題は教科書に必ず証明が載っているのでしっかり覚えていくことが大事です。

知らない公式を証明する問題は、証明方法を自分で1から考えていくことが必要です。「数学的帰納法」や「背理法」などの証明方法のなかから問題に合うものをいかに早く選んでいけるかがカギとなります。

証明問題の解き方・書き方のコツ

ここでは数学の証明問題を解答していく際に意識しておきたい重要なコツについて説明していくので問題を解く際は参考にしてください！

公式は覚える前に証明できるようになろう

証明問題を得意にしていく準備段階として行ってほしいことは「公式は証明できるようになってから覚える」ということです。

難関大学の入試問題になればなるほど意外に簡単な公式の証明問題が出る傾向があります。有名どころで言えば、東京大学の入試問題では三角関数の加法定理の証明が出ました。

図形の証明ではわかっていることをとりあえず書き込む

高校の図形証明問題は中学の問題に比べてもかなり煩雑になっていて、解いている途中に自分が何をしているかわからなくなってしまうという人がいます。

なので、大事なことは「すでに分かっている情報を図形にどんどん書いていく」ことです。これによって証明問題が分かりやすくなったり結論までのイメージが簡単にできるようになります。上の図形のように記号で書いていきましょう。

ある程度パターンを暗記してしまおう

公式の証明問題に関しては自分で1から答えを作り出していくのもいいですが、そんなことをしていては試験時間がいくらあっても足りないですし、効率的ではありません。なので、ある程度の「暗記」が必要になってきます。

例えば、次で挙げている証明問題はもう証明方法が決まっています。

このように、あるパターンの証明問題ではこの証明方法を使う、という一定の方法が存在します。それを覚えておくことで考える時間を大幅に短縮することができるのです。

特に、数学的帰納法のパターンについては暗記していない人が多いので覚えておくだけでも周りの受験生と差をつけることができますよ。

問題に慣れよう

上で説明したコツを行ったら、あとはとにかく問題に慣れていくしかありません。一口に「数学の証明」と言っても証明方法は山のようにあります。

例えば以下に挙げているようなものです。

この中から問題にあった方法をすぐに見つけ出せるように感覚を研ぎ澄ましておいてほしいです。

そのためにも1日2題程度でいいので証明問題を解くことを心がけてください。数学は毎日やることが非常に大切です。1日でもやらないとすぐに点数も下がっていくので注意してください。

まとめ

数学の証明問題では「暗記」と「思考」の訓練をバランスよく行っていくことで成績を効率的に上げていくことができます。割合としては「暗記:思考」の比率は3:7程度で行っていくことがおすすめです。

証明問題は一度得意にしてしまえば他の分野の問題にもいい影響が出てくるのでこの記事を参考にして勉強していってください。

また、数学の勉強法に関しても下の記事でさらに詳しく紹介しているので参考にしてみてください。

【大学受験】数学の成績を上げるための効率的な勉強法とは？

2020年8月6日

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